Question

已知正项数列{a_n}满足：a₁=3，（2n-1）a_n+2=（2n+1）a_n-1+8n²（n＞1，n∈N^*）
（1）求证：数列为等差数列，并求数列{a_n}的通项a_n．
（2）设，求数列{b_n}的前n项和为S_n，并求S_n的取值范围．

Answer

（1）由（2n-1）an+2=（2n+1）an-1+8n2，知∴（2n-1）an-（2n+1）an-1=2（4n2-1），所以是以1为首项，2为公差的等差数列，由此能求出数列{an}的通项an．
（2）由，得=，由此能求出Sn的取值范围．
【解析】
（1）∵（2n-1）an+2=（2n+1）an-1+8n2，
∴（2n-1）an-（2n+1）an-1=2（4n2-1），
∴，
∴是以1为首项，2为公差的等差数列，
∴an=4n2-1．
（2）由（1）得，，
∴=，
∴．