Question

如图正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，
AB=AD=2，CD=4，M为CE的中点．
（I）求证：BM∥平面ADEF；
（Ⅱ）求证：平面BDE⊥平面BEC；
（Ⅲ）求平面BEC与平面ADEF所成锐二面角的余弦值．

Answer

（I）取DE中点N，连接MN，AN，由三角形中位线定理，结合已知中AB∥CD，AB=AD=2，CD=4，易得四边形ABMN为平行四边形，所以BM∥AN，再由线面平面的判定定理，可得BM∥平面ADEF；
（II）由已知中正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，易得ED⊥平面ABCD，进而ED⊥BC，由勾股定理，我们易判断出△BCD中，BC⊥BD，由线面垂直的判定定理可得BC⊥平面BDE，再由面面垂直的判定定理，即可得到平面BDE⊥平面BEC；
（III）以D为原点，DA，DC，DE所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面BEC与平面ADEF的法向量，代入向量夹角公式，即可求出平面BEC与平面ADEF所成锐二面角的余弦值．
证明：（I）取DE中点N，连接MN，AN
在△EDC中，M、N分别为EC，ED的中点，所以MN∥CD，且MN=CD．
由已知AB∥CD，AB=CD，所以MN∥AB，且MN=AB．
所以四边形ABMN为平行四边形，所以BM∥AN
又因为AN⊂平面ADEF，
且BM⊄平面ADEF，
所以BM∥平面ADEF．（4分）
（II）在正方形ADEF中，ED⊥AD，
又因为平面ADEF⊥平面ABCD，
且平面ADEF∩平面ABCD=AD，
所以ED⊥平面ABCD，所以ED⊥BC．
在直角梯形ABCD中，
AB=AD=2，CD=4，可得BC=2
在△BCD中，BD=BC=2，CD=4，
所以BC⊥BD．
所以BC⊥平面BDE，又因为BC⊂平面BCE，
所以平面BDE⊥平面BEC．（9分）
【解析】
（III）由（2）知ED⊥平面ABCD，且AD⊥CD．
以D为原点，DA，DC，DE所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．
B（2，2，0），C（0，4，0），E（0，0，2），平面ADEF的一个法向量为=（0，1，0）．
设=（x，y，z）为平面BEC的一个法向量，因为，
∴
令x=1，得y=1，z=2
所以=（1，1，2）为平面BEC的一个法向量
设平面BEC与平面ADEF所成锐二面角为θ
则cosθ==
所以平面BEC与平面ADEF所成锐二面角为余弦值为