设正整数数列{an}满足a1=2，a2=6，当n≥2时，有．（1）求a3的值；...

设正整数数列{a_n}满足a₁=2，a₂=6，当n≥2时，有 manfen5.com 满分网

．
（1）求a₃的值；（2）求数列{a_n}的通项；
（3）记 manfen5.com 满分网

，证明：对任意n∈N^*， manfen5.com 满分网

．

（1）n=2时，，利用条件a1=2，a2=6，得|36-2a3|＜1，结合正整数数列{an}，可求；（2）先猜后证，关键是第二步的证明，必须利用归纳假设；（3）通过两次等式相减，利用错位相减法求和，从而可证．【解析】（1）n=2时，，由已知a1=2，a2=6，得|36-2a3|＜1，因为正整数数列{an}，所以a3=18；（2）猜想an=2×3n-1，下面用数学归纳法证明 ①n=1，2时成立 ②假设时n=k成立，即ak=2×3k-1，则ak-1=2×3k-2，于是整理结合归纳假设得，因为正整数数列{an}，所以ak+1=2×3k，即n=k+1时成立综上知an=2×3n-1 ②得③ ②-③得：④ ∴⑤ ④-⑤式得：

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考点分析：

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定义：两个连续函数f（x），g（x）在闭区间[a，b]上都有意义，我们称函数|f（x）-g（x）|在[a，b]上的最大值叫做函数f（x）与g（x）在[a，b]上的绝对值差．
（1）求两连续函数f（x）=2x³+x-5与g（x）=x³-2x²+5x-10在闭区间[-3，2]上的绝对差；
（2）若两连续函数f（x）=ln（x²+1）+2k与g（x）=x+k在闭区间[-1，1]上绝对差为2，求k的值．

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