Question

已知：函数f（x）=ax++c（a、b、c是常数）是奇函数，且满足f（1）=，f（2）=，
（Ⅰ）求a、b、c的值；
（Ⅱ）试判断函数f（x）在区间（0，）上的单调性并说明理由；
（Ⅲ）试求函数f（x）在区间（0，+∞）上的最小值．

Answer

（Ⅰ）由函数是奇函数得f（-x）+f（x）=0代入求得c的值，又因为f（1）=，f（2）=，代入得到a与b的方程，联立求出a、b即可；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）的解析式，求出f′（x），在（0，）上得到导函数的正负即可得到函数的单调区间；
（Ⅲ）令导函数等于0求得x=，根据x的取值区间讨论导函数的增减性，得到函数的最小值．
【解析】
（Ⅰ）∵函数f（x）是奇函数，则f（-x）+f（x）=0
即-ax-+c+ax++c=0∴c=0
由f（1）=，f（2）=，得a+b=，2a+=解得a=2，b=
∴a=2，b=，c=0
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=2x+，∴f′（x）=2-
当x∈（0，）时，0＜2x2＜，＞2
∴f′（x）＜0，即函数f（x）在区间（0，）上为减函数．
（Ⅲ）由f′（x）=2-=0，x＞0得x=
∵当x＞，＜2，
∴f′（x）＞0，
即函数f（x）在区间（，+∞）上为增函数．在（0，）上为减函数．
所以f（x）的最小值=f（）=2．