Question

设f（k）是满足不等式x²-3•g（k）•x+2g²（k）≤0的自然数x的个数，其中g（k）=2^k-1（k∈N^*）．
（Ⅰ）求f（1）的值；
（Ⅱ） 求f（k）的解析式；
（Ⅲ）记Sn=，令P_n=n²+n-1（n∈N^*），试比较S_n与P_n的大小．

Answer

（Ⅰ）当k=1时，原不等式即x2-3x+2≤0，再结合x∈N*，可求；
（Ⅱ）将原不等式进行等价变形，再考虑其自然数x的个数，可得f（k）的解析式；
（Ⅲ）先猜后证，利用数学归纳法进行证明．
【解析】
（Ⅰ）当k=1时，原不等式即x2-3x+2≤0，解得1≤x≤2，∵x∈N*，∴x=1，2即f（1）=2（2分）
（Ⅱ）原不等式等价于（x-2k）（x-2k-1）≤0，∴2k-1≤x≤2k..（4分）
∴f（k）=2k-1+1．（6分）（8分）
（Ⅲ）∵，∴Sn-Pn=2n-n2
n=1时，21-12＞0；n=2时，22-22=0，n=3时，23-320（9分）
猜想：n≥5时，Sn＞Pn，下面用数学归纳法给出证明
①当n=5时，S5＞P5，已证．（10分）
②假设n=k（k≥5）时结论成立即2k＞k2
那么n=k+1时，2k+1-（k+1）2＞2k2-k2-2k-1=（k-1）2-2
在k≥5范围内，（k-1）2-2＞0恒成立，则2k+1＞（k+1）2，即Sk+1＞Pk+1
由①②可得，猜想正确，即n≥5时，Sn＞Pn，．（13分）
综上所述：当n=2，4时，Sn=Pn，；当n=3时，Sn＜Pn；当n=1或n≥5时，Sn＞Pn，；（14分）．