Question

直线AB过抛物线x²=2py（p＞0）的焦点F，并与其相交于A、B两点，Q是线段AB的中点，M是抛物线的准线与y轴的交点，O是坐标原点．
（Ⅰ）求的取值范围；
（Ⅱ）过A、B两点分别作此抛物线的切线，两切线相交于N点，求证：=0，∥；
（Ⅲ）若p是不为1的正整数，当=4P²，△ABN的面积的取值范围为[5，20]时，求该抛物线的方程．

Answer

（Ⅰ）由条件得M（0，-），F（0，）．设直线AB的方程为y=kx+，A（x1，y1），B（x2，y2），则x12=2py1，x22=2py2，Q（）．由得x2-2pkx-p2=0．由韦达定理能够推导出•的取值范围．
（Ⅱ）抛物线方程可化为，求导得．kNA=y，kNB═y．切线NA的方程为：y-=，切线NB的方程为：．由解得N（，），从而可知N点Q点的横坐标相同但纵坐标不同．由此能够证明=0，∥．
（Ⅲ）由．又根据，知4p2=p2k2，而p＞0，k2=4，k=±2．由=（-pk，p），=（x2-x1）（1，k），知，从而．由此能够求出抛物线的方程．
【解析】
（Ⅰ）由条件得M（0，-），F（0，）．设直线AB的方程为
y=kx+，A（x1，y1），B（x2，y2）
则x12=2py1，x22=2py2，Q（）．（2分）
由得x2-2pkx-p2=0．
∴由韦达定理得x1+x2=2pk，x1•x2=-p2（3分）
从而有y1y2=，y1+y2=k（x1+x2）+p=2pk2+p．
∴•的取值范围是[0，+∞）．（4分）
（Ⅱ）抛物线方程可化为，求导得．
∴kNA=y，kNB═y．
∴切线NA的方程为：y-=即y=．
切线NB的方程为：（6分）
由解得∴N（，）
从而可知N点Q点的横坐标相同但纵坐标不同．
∴NQ∥OF．即（7分）
又由（Ⅰ）知x1+x2=2pk，x1•x2=-p2，
∴N（pk，-）．（8分）
而M（0，-）∴
又．∴．（9分）
（Ⅲ）由．又根据（Ⅰ）知
∴4p2=p2k2，而p＞0，∴k2=4，k=±2．（10分）
由于=（-pk，p），=（x2-x1）（1，k）
∴
从而．（11分）
又||=，||=y1+y2+p=2pk2-2p=10p，
∴．
而S△ABN的取值范围是[5，20]．
∴5≤5，p2≤20，1≤p2≤4．（13分）
而p＞0，∴1≤p≤2．
又p是不为1的正整数．
∴p=2．
故抛物线的方程：x2=4y．（14分）．