Question

定义在R上的函数f（x）满足f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy（x，y∈R），f（1）=2，则=    ．

Answer

令y=1，找到f（n+1）和f（n）之间的关系，然后累加，求得f（n）的表达式，进而求得的表达式，仔细观察该式的特点，进行裂项，这样的话就能够发现再次累加就能够求得所求表达式的值．
【解析】
令y=1得f（x+1）=f（x）+2x+2，
      即f（n+1）=f（n）+2n+2，
      故f（2）-f（1）=2×1+2，
        f（3）-f（2）=2×2+2
        …
        f（n）-f（n-1）=2（n-1）+2
      以上n-1个式子相加得：
          f（n）-f（1）=2[1+2+3+…+（n-1）]+2n=n（n-1）+2n     
      所以 f（n）=2[1+2+3+…+（n-1）]+2n+2=n（n-1）+2n+2=n（n+1） 
      所以