Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，a_n+1=S_n+3n+1（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=，设数列{b_n}的前n项和为T_n，求使不等式-T_n＜成立的最小正整数n的值．

Answer

（1）由an+1=Sn+3n+1和an=Sn-1+3（n-1）+1相减得an+1-an=an+3，即n≥2时，an+1=2an+3，两边同时加上3，构造一个等比数列{an+3}，求出该等比数列的通项公式，即可求得数列{an}的通项公式；
（2）把（1）求得结果代入bn=，利用裂项相消法即可求得数列{bn}的前n项和为Tn，解此不等式-Tn＜即可求得结果．
【解析】
（1）∵a1=1，an+1=Sn+3n+1（n∈N*），①
∴当n≥2时，an=Sn-1+3（n-1）+1②
①-②得an+1-an=an+3，即n≥2时，an+1=2an+3，
又a2=S1+4=5=2a1+3，故对一切正整数n，an+1=2an+3，
则有an+1+3=2（an+3），所以数列{an+3}是公比为2，首项为a1+3=4的等比数列，
故an+3=4•2n-1，
∴an=2n+1-3（n∈N*）．
（2）bn==•=•=（-），
故Tn=b1+b2+…+bn=[（-）+（-）+…+（-）]
=×（-）=-，
故-Tn=＜，即2n+3＞2016，故只要n+3≥11，即n≥8，
故所求的最小正整数n的值为8．