Question

已知函数f（x）=x²+（a∈R）．
（1）求函数f（x）的图象在x=1处，且垂直于直线x-14y+13=0的切线方程，并求此时函数f（x）的单调区间；
（2）若f（x）≤a²-2a+4对任意的x∈[1，2]恒成立．求实数a的取值范围．

Answer

（1）先求出其导函数，利用f′（1）=2-2a=-14，解得a=8，以及切点坐标和切线方程；再把a=8代入其导函数即可求出其单调区间；
（2）先求出其导函数，再利用分类讨论思想得到其在[1，2]上的单调性进而求出其最大值，最后再把问题转化为f（x）max≤a2-2a+4，即可求实数a的取值范围．
【解析】
（1）∵f（x）=x2+，
∴f′（x）=2x-，
根据题意有f′（1）=2-2a=-14，解得a=8，
此时切点坐标是（1，17），故所求的切线方程是y-17=-14（x-1），即14x+y-31=0．
当a=8时，f′（x）=2x-=．
令f′（x）＞0，解得x＞2，令f′（x）＜0，解得x＜2且x≠0，
故函数f（x）的单调递增区间是（2，+∞）；单调递减区间是（-∞，0）和（0，2）．
（2）由（1）知f′（x）=2x-=．
①若a≤1，则f′（x）＞0在区间（1，2]上恒成立，f（x）在区间[1，2]上单调递增，函数f（x）在区间[1，2]上的最大值为f（2）=4+a；
②若1＜a＜8，则在区间（1，a）上，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，在区间（a，2）上，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，
故函数f（x）在区间[1，2]上的最大值为f（1），f（2）中的较大者，f（1）-f（2）=1+2a-4-a=a-3，
故当1＜a≤3时，函数f（x）的最大值为f（2）=4+a，当3＜a＜8时，函数f（x）的最大值为f（1）=1+2a；
③当a≥8时，f′（x）＜0在区间[1，2）上恒成立，函数f（x）在区间[1，2]上单调递减，函数f（x）的最大值为f（1）=1+2a．
综上可知，在区间[1，2]上，当a≤3时，f（x）max=4+a；当a＞3时，f（x）max=1+2a．
不等式f（x）≤a2-2a+4对任意的x∈[1，2]恒成立等价于在区间[1，2]上，f（x）max≤a2-2a+4，
故当a≤3时，4+a≤a2-2a+4，即a2-3a≥0，解得a≤0或a=3；
当a＞3时，1+2a≤a2-2a+4，即a2-4a+3≥0，解得a＞3．
故a的取值范围是（-∞，0]∪[3，+∞）．