Question

如图，AA₁、BB₁为圆柱OO₁的母线，BC是底面圆O的直径，D、E分别是AA₁、CB₁的中
点，DE⊥面CBB₁．
（1）证明：DE∥面ABC；
（2）求四棱锥C-ABB₁A₁与圆柱OO₁的体积比；
（3）若BB₁=BC，求CA₁与面BB₁C所成角的正弦值．

Answer

（1）先证明四边形AOED是平行四边形，即可得到 DE∥OA，从而证得DE∥面ABC．
（2）由CA⊥AB，且AA1⊥CA，可得CA⊥面AA1B1B，即CA为四棱锥的高，设圆柱高为h，底半径为r，则V柱=πr2h，求出椎体的体积，即可得到四棱锥C-ABB1A1与圆柱OO1的体积比．
（3）先证 A1O1⊥面CBB1C1，则∠A1CO1为CA1与面BB1C所成的角，在Rt△A1O1C中，由
求得CA1与面BB1C所成角的正弦值．
【解析】
（1）证明：连接EO，OA．∵E，O分别为B1C，BC的中点，∴EO∥BB1．
又DA∥BB1，且．∴四边形AOED是平行四边形，
即DE∥OA，DE⊄面ABC．∴DE∥面ABC．
（2）由题DE⊥面CBB1，且由（1）知DE∥OA．∴AO⊥面CBB1，∴AO⊥BC，
∴AC=AB．因BC是底面圆O的直径，得CA⊥AB，且AA1⊥CA，
∴CA⊥面AA1B1B，即CA为四棱锥的高．
设圆柱高为h，底半径为r，则V柱=πr2h，，
∴V锥：V柱 =．
（3）【解析】
作过C的母线CC1，连接B1C1，则B1C1是上底面圆O1的直径，
连接A1O1，得A1O1∥AO，又AO⊥面CBB1C1，
∴A1O1⊥面CBB1C1，连接CO1，
则∠A1CO1为CA1与面BB1C所成的角，
设BB1=BC=2，则，
A1O1=1．（12分）
在Rt△A1O1C中，．