Question

如图，在x轴上方有一段曲线弧Γ，其端点A、B在x轴上（但不属于Γ），对Γ上任一点P及点F₁（-1，0），F₂（1，0），满足：．直线AP，BP分别交直线于R，T两点．
（1）求曲线弧Γ的方程；
（2）求|RT|的最小值（用a表示）；
（3）曲线Γ上是否存点P，使△PRT为正三角形？若存在，求a的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer

（1）由椭圆的定义和简单性质求得 Γ的方程．
（2） 设出P，R，T的坐标，由A，P，R三点共线，得 ①，由B，P，T三点共线得：②，变形得即．利用基本不等式求出|RT|的最小值．
（3）设P（x，y），线AP，BP的斜率存在，分别设为k1、k2 ，由正三角形的性质得，
而由椭圆的方程知，矛盾，故不存在点P，使△PRT为正三角形．
【解析】
（1）由椭圆的定义，曲线Γ是以F1（-1，0），F2（1，0）为焦点的半椭圆，，∴Γ的方程为．
（2）【解析】
设P（m，n），R（a，y1），T（a，y2），则由A，P，R三点共线，得 ①，
同理，由B，P，T三点共线得：②，由①×②得：．
由，代入上式，．
即．
，
当且仅当|y1|=|y2|，即y1=-y2时，取等号．
即|RT|的最小值是．
（3）设P（x，y），依题设，直线l∥y轴，若△PRT为正三角形，则必有∠PAB=180°-∠PBx=30°，
从而直线AP，BP的斜率存在，分别设为k1、k2，由 ；，
于是有，而由椭圆的方程知 ，矛盾．
∴不存在点P，使△PRT为正三角形．（14分）