Question

设椭圆M：（a＞b＞0）的离心率为，点A（0，a），B（-b，0），C（0，-a），原点O到直线AB的距离为，点P在椭圆M上（与A，C均不重合），点D在直线PC上，若直线PA的方程为x=my-4，且•=0．
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）求直线BD的方程．

Answer

（Ⅰ）由e2===1-=，得a=b．由点A（0，a），B（-b，0），知直线AB的方程为4x-3y+4b=0，由原点O到直线AB的距离==，知b=3，由此能求出椭圆方程．
（Ⅱ）由A（0，4），B（-3，0），直线lPA：x=my-4，知m=1，即lPA：x-y+4=0，设P（x，y），则x2==（16-y2），kPC•kPA=×===-．由此入手能够求出直线BD的方程．
【解析】
（Ⅰ）由e2===1-=，得a=b（2分）
由点A（0，a），B（-b，0）知直线AB的方程为+=1，即lAB：4x-3y+4b=0
又原点O到直线AB的距离==，∴b=3，（4分）
∴b2=9，a2=16
从而椭圆M的方程为：．（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得A（0，4），B（-3，0），而直线lPA：x=my-4，∴4m-4=0，⇒m=1，
即lPA：x-y+4=0，（6分）
设P（x，y），则，∴x2==（16-y2）
kPC•kPA=×===-
∴kPC=-=--，（9分）
∵•=0，∴kPCkBD=-1，即kBD=-=，（11分）
又B（-3，0），∴直线BD的方程为y=（x+3）即9x-16y+27=0（12分）
注：本问也可先求出P点坐标，再求直线方程．