Question

对于数列{a_n}，规定{△a_n}为数列{a_n}的一阶差分数列，其中△a_n=a_n+1-a_n（n∈N*）；类似的，规定{△²a_n}为数列{a_n}的二阶差分数列，其中△²a_n=△a_n+1-△a_n（n∈N*）．
（Ⅰ）已知数列{a_n}的通项公式a_n=3n²-5n（n∈N*），试证明{△a_n}是等差数列；
（Ⅱ）若数列{a_n}的首项a₁=1，且满足△²a_n-△a_n+1+a_n=-2ⁿ（n∈N*），令b_n=，求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，记c_n=，求证：c₁++…+＜．

Answer

（Ⅰ）根据题意△an=an+1-an=（n+1）2-（n+1）-n2+n=5n-4，所以△an+1-△an=6．由此能够证明{△an}是等差数列；
（Ⅱ）由△2 an-△an+1+an=-2n，知△an-an=2n．由此入手能够求出数列{an}的通项公式，从而求数列{bn}的通项公式；
（Ⅲ）由an=n•2n-1，cn===，当n≥2，n∈N*时，，从而可证．
【解析】
（Ⅰ）根据题意：△an=an+1-an=3（n+1）2-5（n+1）-3n2+5n=6n-2．（2分）
∴△an+1-△an=6
∴数列{△an}是首项为4，公差为6的等差数列．（3分）
（Ⅱ）由△2an-△an+1+an=-2n，∴△an+1-△an-△an+1+an=-2n，⇒△an-an=2n．
而△an=an+1-an，∴an+1-2an=2n，（5分）
∴-=，即bn+1-bn=，（6分）
∴数列{bn}构成以为首项，为公差的等差数列，即bn=．（7分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知=，则an=n•2n-1，
∴c===（9分）
∴当n≥2，n∈N*时==（-），
∴c1+++=1+[（-）+（-）+（-）++（-）+（-）]
=1+（+--）＜1+（+）=．
当n=1时，c1=1＜，显然成立
∴c1+++＜．（12分）