Question

双曲线C与椭圆有相同的焦点，直线为C的一条渐近线．
（1）求双曲线C的方程；
（2）过点P（0，4）的直线l，交双曲线C于A、B两点，交x轴于Q点（Q点与C的顶点不重合），当，且时，求Q点的坐标．

Answer

（1）先求出椭圆的焦点找到双曲线中的c，再利用直线为C的一条渐近线，求出a和b的关系进而求出双曲线C的方程；
（2）先把直线l的方程以及A、B两点的坐标设出来，利用，找到λ1和λ2与A、B两点的坐标和直线l的斜率的关系，再利用A、B两点是直线和双曲线的交点以及，求出直线l的斜率k进而求出Q点的坐标．
【解析】
（Ⅰ）设双曲线方程为
由椭圆
求得两焦点为（-2，0），（2，0），
∴对于双曲线C：c=2，又为双曲线C的一条渐近线
∴解得a2=1，b2=3，
∴双曲线C的方程为
（Ⅱ）由题意知直线l得斜率k存在且不等于零，设l的方程：y=kx+4，A（x1，y1），B（x2，y2）
则
∵，
∴．
∴
同理λ2=-，
所以．
即2k2x1x2+5k（x1+x2）+8=0．（*）
又y=kx+4以及

消去y得（3-k2）x2-8kx-19=0．
当3-k2=0时，则直线l与双曲线得渐近线平行，不合题意，3-k2≠0．
由韦达定理有：

代入（*）式得k2=4，k=±2
∴所求Q点的坐标为（±2，0）．