Question

已知数列{a_n}满足，记．
（1）求a₁+a₂+a₃+a₄+a₅+a₆．；
（2）证明S_n=4^n-1+S_n-1（n≥2）；
（3）求S_n，并证明．

Answer

（1）根据数列各项的定义求出各项的值是解决本题的关键，注意分段函数给出数列通项公式的理解和认识；
（2）利用数列各项的值给出数列求和的方法，注意分组求和方法的运用，探究出数列的前n项和满足的关系式达到证明该题的目的；
（3）根据（2）中得到的数列的前n项和满足的递推关系式探求出前n项和的公式是解决本题的关键，利用放缩法达到证明该题的目的．
【解析】
（1）a1+a2+a3+a4+a5+a6=a1+a1+a3+a2+a5+a3=a1+a1+2a3+a1+a5=3a1+2a3+a5=3×1+2×3+5=14．
（2）
=
=
=
=．
（3）由（2）可知Sn=4n-1+Sn-1（n≥2）；即Sn-Sn-1=4n-1（n≥2）；从而
Sn=（Sn-Sn-1）+（Sn-1 -Sn-2）+（Sn-2-Sn-3）+…+（S2-S1）+S1=4n-1+4n-2+4n-3+…+4+2=，
所以，故．