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如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E、F分别是A1B1、CC...

manfen5.com 满分网如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E、F分别是A1B1、CC1的中点,过D1、E、F作平面D1EGF交BB1于G.
(Ⅰ)求证:EG∥D1F;
(Ⅱ)求二面角C1-D1E-F的余弦值;
(Ⅲ)求正方体被平面D1EGF所截得的几何体ABGEA1-DCFD1的体积.
(I)根据正方体的几何特征及面面平行的性质定理,易证得EG∥D1F; (Ⅱ)以D为原点分别以DA、DC、DD1为x、y、z轴,建立空间直角坐标系,分别求出平面D1EGF的法向量和平面ABCD的法向量,代入向量夹角公式,即可得到答案; (III)几何体ABGEA1-DCFD1由正方体ABCD-A1B1C1D1减去一个棱台D1FC1-EGB1得到,分别求出正方体ABCD-A1B1C1D1的体积和棱台D1FC1-EGB1的体积,即可得到答案. 证明:(Ⅰ)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,∵平面ABB1A1∥平面DCC1D1 平面D1EGF∩平面ABB1A1=EG,平面D1EGF∩平面DCC1D1=D1F, ∴EG∥D1F.(3分) 【解析】 (Ⅱ)如图,以D为原点分别以DA、DC、DD1为 x、y、z轴,建立空间直角坐标系,则有 D1(0,0,2),E(2,1,2),F(0,2,1), ∴=(2,1,0),=(0,2,-1) 设平面D1EGF的法向量为=(x,y,z) 则由•=0,和•=0,得, 取x=1,得y=-2,z=-4,∴=(1,-2,-4)(6分) 又平面ABCD的法向量为(0,0,2) 以二面角C1-D1E-F的平面角为θ, 则cosθ=||= 故截面D1EGF与底面ABCD所成二面角的余弦值为.(9分) 【解析】 (Ⅲ)设所求几何体ABGEA1-DCFD1的体积为V, ∵△EGB1∽△D1FC1,D1C1=2,C1F=1, ∴EB1=D1C1=1,B1G=C1F=, ∴=EB1•B1G=•1•=, =D1C1•C1F=•2•1=1(11分) 故V棱台D1FC1-EGB1= ∴V=V正方体-V棱台D1FC1-EGB1=23-=.(14分)
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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