Question

在平面直角坐标系上，设不等式组（n∈N^*）
所表示的平面区域为D_n，记D_n内的整点（即横坐标和纵坐标均
为整数的点）的个数为a_n（n∈N^*）．
（Ⅰ）求a₁，a₂，a₃并猜想a_n的表达式再用数学归纳法加以证明；
（Ⅱ）设数列{a_n}的前项和为S_n，数列{}的前项和T_n，
是否存在自然数m？使得对一切n∈N^*，T_n＞m恒成立．若存在，
求出m的值，若不存在，请说明理由．

Answer

（Ⅰ）由题设知Dn内的整点在直线x=1和x=2上．记直线y=-mx+3m为l，l与直线x=1和x=2的交点的纵坐标分别为y1、y2，由y1=2n，y2=n，知an=3n（n∈N*），再用数学归纳法证明．
（Ⅱ）先求得，所以．因为对一切n∈N*，Tn＞m恒成立，所以m＜Tn的最小值，从而可求．
【解析】
（Ⅰ）当n=1时，D1为Rt△OAB1的内部包括斜边，这时a1=3，
当n=2时，D2为Rt△OAB2的内部包括斜边，这时a2=3，
当n=3时，D3为Rt△OAB3的内部包括斜边，这时a3=9
由此可猜想an=3n
下面用数学归纳法证明：
（1）当n=1时，猜想显然成立．
（2）假设当n=k时，猜想成立，即ak=3k
如图，平面区域Dk为Rt△OABk内部包括斜边、平面区域Dk+1为Rt△△OABk+1内部包括斜边，∵平面区域Dk+1比平面区域Dk多3个整点，（7分）
即当n=k+1时，ak+1=3k+3=3（k+1），这就是说当n=k+1时，猜想也成立，
由（1）、（2）知an=3n对一切n∈N*都成立．（8分）
（Ⅱ）∵an=3n，∴数列{an}是首项为3，公差为3的等差数列，
∴．∴，∴
∵对一切n∈N*，Tn＞m恒成立，∴m＜Tn的最小值．
∵在[1，+∞）上为增函数∴Tn的最小值为，∴，满足的自然数为0，
∴满足题设的自然数m存在，其值为0．（14分）