Question

过双曲线的右焦点作直线交双曲线于A，B两点，且|AB|=4，则这样的直线有    条．

Answer

右焦点为（，0），当AB的斜率不存在时，经检验满足条件，当AB的斜率存在时，设直线AB方程为y-0=k
（x-），代入双曲线化简，求出x1+x2 和x1•x2的值，由|AB|=4=，
解得k=±1，得到满足条件的斜率存在的直线有两条，故总共有3条．
【解析】
右焦点为（，0），当AB的斜率不存在时，直线AB方程为 x=，
代入双曲线的方程可得y=±2，即A，B两点的纵坐标分别为2 和-2，满足|AB|=4．
当AB的斜率存在时，设直线AB方程为 y-0=k（x-），代入双曲线的方程化简可得
（2-k2） x2-2 k2 x+3k2-2=0，∴x1+x2=，x1•x2=，
∴|AB|=4=，平方化简可得 （3k4+6）（k2-1）=0，
∴k=±1，都能满足判别式△=12-4（2-k2）（3k2-2）＞0．
所以，满足条件的且斜率存在的直线有2条．
综上，所有满足条件的直线共有3条，
故答案为 3．