Question

对于函数f（x）和g（x），若存在常数k，m，对于任意x∈R，不等式f（x）≥kx+m≥g（x）都成立，则称直线y=kx+m是函数f（x），g（x）的分界线．已知函数f（x）=e^x（ax+1）（e为自然对数的底，a∈R为常数）．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）设f（x）=ln（1+x）-mx，试探究函数f（x）与函数（0，+∞）是否存在“分界线”？若存在，求出分界线方程；若不存在，试说明理由．

Answer

（Ⅰ）f′（x）=ex（ax+1+a），当a＞0时，f′（x）＞0⇔函数f（x）在区间（-1-，+∞）上是增函数，在区间（-∞，-1-）上是减函数；a=0时，f′（x）＞0，函数f（x）是区间（-∞，+∞）上的增函数；当a＜0时，f′（x）＞0⇔ax＞-a-1，函数f（x）在区间（-∞，-1-）上是增函数，在区间（-1-，+∞）上是减函数．
（Ⅱ）若存在，则ex（x+1）≥kx+m≥-x2+2x+1恒成立，令x=0，得m=1，因此x2+（k-2）x≥0恒成立，由此及彼能推导出函数f（x）与函数g（x）=-x2+2x+1存在“分界线”．
【解析】
（Ⅰ）f′（x）=ex（ax+1+a），（2分）
当a＞0时，f′（x）＞0⇔ax＞-a-1，即x＞-1-，
函数f（x）在区间（-1-，+∞）上是增函数，
在区间（-∞，-1-）上是减函数；（3分）
当a=0时，f′（x）＞0，函数f（x）是区间（-∞，+∞）上的增函数；（5分）
当a＜0时，f′（x）＞0⇔ax＞-a-1，即x＜-1-，
函数f（x）在区间（-∞，-1-）上是增函数，在区间（-1-，+∞）上是减函数．（7分）
（Ⅱ）若存在，则ex（x+1）≥kx+m≥-x2+2x+1恒成立，
令x=0，则1≥m≥1，
所以m=1，（9分）
因此：kx+1≥-x2+2x+1恒成立，即x2+（k-2）x≥0恒成立，
由△≤0得到：k=2，
现在只要判断ex（x+1）≥2x+1是否恒成立，（11分）
设∅（x）=ex（x+1）-（2x+1），
因为：∅′（x）=ex（x+2）-2，
当x＞0时，ex＞1，x+2＞2，∅′（x）＞0，
当x＜0时，ex（x+2）＜2ex＜2，∅′（x）＜0，
所以∅（x）≥∅（0）=0，即ex（x+1）≥2x+1恒成立，
所以函数f（x）与函数g（x）=-x2+2x+1存在“分界线”．（14分）