Question

已知点列A_n（x_n，0）满足：，其中n∈N，又已知x=-1，x₁=1，a＞1．
（1）若x_n+1=f（x_n）（n∈N^*），求f（x）的表达式；
（2）已知点B，记a_n=|BA_n|（n∈N^*），且a_n+1＜a_n成立，试求a的取值范围；
（3）设（2）中的数列a_n的前n项和为S_n，试求：．

Answer

（1）利用向量的数量积公式可得（xn+1）（xn+1-1）=a-1，从而可得函数的表达式；
（2）利用an=|BAn|及，将问题转化为要使an+1＜an成立，只要，从而可求参数的范围；
（3）利用（2）中的结论可得，从而求和，利用1＜a≤9得，从而得证．
【解析】
（1）∵A（-1，0），A1（1，0），∴，
∴（xn+1）（xn+1-1）=a-1，∴，
∴．（3分）
（2）∵，a＞1，∴xn＞1，∴xn+1＞2
∵，∴．
∵=
∴要使an+1＜an成立，只要，即1＜a≤9
∴a∈（1，9]为所求．（6分）
（3）∵…＜，
∴（9分）
∴=
（11分）
∵1＜a≤9，∴，∴（13分）
∴＜＜
∴（14分）