Question

已知抛物线C：x²=4y的焦点为F，过点F作直线l交抛物线C于A、B两点；椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，点F是它的一个顶点，且其离心率e=．
（1）求椭圆E的方程；
（2）经过A、B两点分别作抛物线C的切线l₁、l₂，切线l₁与l₂相交于点M．证明：AB⊥MF；
（3）椭圆E上是否存在一点M′，经过点M′作抛物线C的两条切线M′A′、M′B（A′、B′为切点），使得直线A′B′过点F？若存在，求出抛物线C与切线M′A′、M′B所围成图形的面积；若不存在，试说明理由．

Answer

（1）由点抛物线焦点F是椭圆的一个顶点可得b=1，由椭圆离心率e=得=，椭圆方程可求．
（2）要证明AB⊥MF，只需证=0即可．设直线l的方程为y=kx+，1与双曲线方程联立，消去y，得到关于A，B点横坐标的一元二次方程，求两根的和与积，再用导数求过A，B点的切线方程，求出切点坐标，计算即可．
（3）先假设椭圆E上存在点M′，经过点M′作抛物线C的两条切线M′A′、M′B（A′、B′为切点），直线A′B′过点F．
再根据假设与已知条件去求M′坐标，如果存在，用所求结果求抛物线C与切线M′A′、M′B所围成图形的面积．
【解析】
（1）设椭圆E的方程为，半焦距为c．
由已知条件，F（0，1），∴b=1，=，a2=b2+c2，
解得a=2，b=1．所以椭E的方程为．
（2）显然直线l的斜率存在，否则直线l与抛物线C只有一个交点，不合题意，
故可设直线l的方程为y=kx+1，A（x1，y1）B（x2，y2）（x1≠x2）
与抛物线方程联立，消去y，并整理得，x2-4kx-4=0
∴x1x2=-4．
∵抛物线的方程为y=x2，求导得y′=x，
∴过抛物线上A，B两点的切线方程分别是
y-y1=x1（x-x1），y-y2=x2（x-x2）
即y=x1x-，y=x2x-x22
解得两条切线的交点M的坐标为（，-1）
∴•=0
∴AB⊥MF．
（3）假设存在点M′满足题意，由（2）知点M′必在直线y=-1上，又直线y=-1与椭圆有唯一交点，故M′的坐标为（0．-1），
设过点M′且与抛物线C相切的切线方程为y-y=x（x-x）：，其中点（x，y）为切点．
令x=0，y=-1得，-1-x2=x（0-x），解得x=2或x=-2，
故不妨取A′（-2，1）B′（2，1），即直线A′B′过点F．
综上所述，椭圆E上存在一点M′（0，-1），经过点M′作抛物线C的两条切线M′A′、M′B′
（A′、B′为切点），能使直线A′B′过点F．
此时，两切线的方程分别为y=-x-1和y=x-1．
抛物线C与切线M′A′、M′B′所围成图形的面积为
==．