Question

已知棱长为1的正方体AC₁，E，F分别是B₁ C₁和C₁D₁的中点
（1）求点A₁到平面BDFE的距离
（2）求直线A₁D与平面BDFE所成的角．

Answer

（1）以D为原点，DA，DC，DD1的方向分别为X，Y，Z轴的正方向，建立坐标系，求出各顶点的坐标，进而求出平面BDFE的法向量，代入向量点到平面的距离公式，即可得点A1到平面BDFE的距离；
（2）由（1）知∠DA1H=45°，从而得出∠A1DH是直线A1D与平面BDFE所成角，结合∠DA1H+∠A1DH=90°即可得出直线A1D与平面BDFE所成的角∠A1DH的大小．
【解析】
（1）建立空间直角坐标系D-xyz，则B（1，1，0），E（1/2，1，1），F（0，1/2，1），
设=（x，y，z）是平面BDFE的法向量，由⊥，⊥，=（1，1，0），=（0，1/2，1）得：•=x+y=0•=1/2y+z=0
所以：x=-yz=-y/2令y=1，得=（-1，1，1/2），
设点A在平面BDFE上的射影为H，
连接A1D，A1D是平面BDFE的斜线段，
则：cos＜，＞=，
所以|cos＜，＞=1所以点A1到平面BEFE的距离为1；
（2）由（1）知∠DA1H=45°，
∠A1DH是直线A1D与平面BDFE所成角，
且∠DA1H+∠A1DH=90°
所以∠A1DH=45°．