Question

已知等差数列a_n的公差d＜0，若a₃a₇=9，a₁+a₉=10，则该数列的前n项和S_n的最大值为    ．

Answer

根据等差数列的性质得到第3项与第7项的和等于首项与第9项的和等于10，又第3项与第7项的积为9，写出一个两根为a3和a7关于x的一元二次方程，求出方程的解，且根据等差d小于0可得到a3和a7的值，进而求出数列的首项和公差，根据首项和公差写出等差数列的前n项和公式，配方后即可求出数列的前n项和Sn的最大值．
【解析】
由题意a1+a9=10，得到a3+a7=10，又a3a7=9，
得到a3，a7为方程x2-10x+9=0的两根，且d＜0，
得到a3=9，a7=1，则d=-2，
所以a1=13，Sn=-n2+14n-49+49=（n-7）2+49，
则当n=7时，该数列的前n项和Sn的最大值为49．
故答案为：49