Question

在△ABC中，已知A（0，a），B（0，-a），AC，CB两边所在的直线分别与x轴交于原点同侧的点M，N，且满足|OM|•|ON|=4a²（a为不等于零的常数）
（1）求点C的轨迹方程；
（2）如果存在直线l：y=kx-1（k≠0），使l与点C的轨迹相交于不同的P，Q两点，且|AP|=|AQ|，求a的取值范围．

Answer

（1）利用三点共线两直线斜率相等将M，N的坐标用C的坐标表示，将M，N坐标代入|OM|•|ON|=4a2，求出C的轨迹方程．
（2）将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理得到P，Q的中点，据中垂线上的点到线段两端点的距离线段，得到A在PQ的中垂线上，利用两线垂直，斜率之积为-1，列出方程，代入判别式求出a的范围．
【解析】
（1）设点C（x，y）（x≠1）M（xM，0），N（xN，0）
当y=a时，AC∥x轴，当y=-a时，BC∥x轴，与题意不符，所以y≠±a；
由A、C、M三点共线有=，解得xM=
同理由B、C、N三点共线，解得xN=
∵xM•xN＞0，∴|OM|•|ON|=xM•xN=•=4a2，
化简得点C的轨迹方程为x2+4y2=4a2（x≠0）
（2）设PQ的中点为R，
∴（1+4k2）x2-8kx+4-4a2=0，
由△=64k2-4（1+4k2）（1-4a2）＞0，
化简得4a2k2+a2-1＞0①xR==，yR=kxR-1=
∵|AP|=|AQ|⇔，即kAR•k=-1，
∴•k=1，4ak2+a-3=0，即k2=②
∵k≠0，∴k2＞0，∴0＜a＜3把②代入①并化简得3a-1＞0⇒a＞
当a=1时，直线l过点B，而曲线C不过点B，所以直线l与曲线C只有一个公共点故a=1舍去；
故a的取值范围是＜a＜3且a≠1