Question

设短轴长为是的椭圆C：和双曲线的离心率互为的倒数，过定圆E上面的每一个点都可以作两条互相垂直的直线l₁，l₂，且l₁，l₂与椭圆的公共点都只有一个的圆的方程为    ．

Answer

根据题意椭圆与双曲线的离心率互为倒数可得椭圆的方程为，设出直线方程联立椭圆方程得到一元二次方程，由△=0可得关于k的方程，再结合直线l1，l2互相垂直且两条直线与与椭圆的交点只有一个得到xy的关系即得到圆的方程，最后检验斜率不存在时也符合题意即可．
【解析】
双曲线的离心率为，于是椭圆C：的离心率为．
即，又由题意，以及b2+c2=a2，解得，
椭圆C的方程为．
设P（x，y）是⊙E上的任意一点，过P的直线l：y=k（x-x）+y，
代入中，得，
即（1+2k2）x2+4k（y-kx）x+2（y-kx）2-6=0，①
若直线l与椭圆的公共点只有一个，则①中判别式△=0，
即16k2（y-kx）2-8（1+2k2）[（y-kx）2-3]=0，
整理得关于k的方程：（6-x2）k2+2xyk-y2+3=0，②
要使得⊙E上面的每一个点都可以作两条互相垂直的直线l1，l2，
且l1，l2与椭圆的公共点都只有一个，方程必须有两根且两根之积为-1，故，即x2+y2=9，
又对于点，，，，直线l1，l2中有一条斜率不存在，
另一条斜率为0，显然成立．故这样的⊙E，方程为：x2+y2=9．
故答案为x2+y2=9．