Question

设数列{a_n}满足：a₁=1，a₂=2，N^*）．
（1）求a_n+1与a_n之间的递推关系式a_n+1=f（a_n）；
（2）求证：当n≥2时，2＜a_n²-a_n-1²≤3；
（3）求a₂₀₁₁的整数部分．

Answer

（1）对N*）变形化简得．将其迭代，利用a1=1，a2=2可以得到an+1与an之间的递推关系式；
（2）由于数列递增，所以对一切n≥1，有an≥1成立，从而．又当n≥2时，，所以有，从而问题得证．
（3）当n≥2时，，．
又当n≥3时，有an2＞2n，从而=，从而可解．
【解析】
（1）易知，对一切n≥1，an≠0．由可知：，
整理得．
依次利用上述关系式，可得，
从而．
（2）由a1=1及可知数列递增，则对一切n≥1，有an≥1成立，从而．
当n≥2时，，于是，所以  2＜an2-an-12≤3．
（3）当n≥2时，，．
a12=1，a22=4，a32＞6，则当n≥3时，有an2＞2n，，=
==
=．
所以63＜a2011＜64，即a2011的整数部分为63．