已知甲口袋中有8个大小相同的小球，其中有5个白球，3个黑球；乙口袋中有4个大小相...

已知甲口袋中有8个大小相同的小球，其中有5个白球，3个黑球；乙口袋中有4个大小相同的小球，其中有2个白球，2 个黑球，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两个口袋中共摸出3个小球．
（I ）求从甲、乙两个口袋中分别抽取小球的个数；
（II）求从甲口袋中抽取的小球中恰有一个白球的概率；
（III）记ξ表示抽取的3个小球中黑球的个数，求ξ的分布列及数学期望．

（I）由题意从甲、乙两个口袋中抽取的小球个数之比为8：4，得到从甲和乙两个口袋中分别抽取的小球是2，1 （II）由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件数是C82C41，满足条件的事件是C51C31C41，得到概率．（III）由题意知变量的可能取值是0，1，2，3，结合变量对应的事件和等可能事件的概率写出变量的概率，写出分辨率和期望值．【解析】（I）由题意从甲、乙两个口袋中抽取的小球个数之比为8：4=2：1 ∴从甲和乙两个口袋中分别抽取的小球是2，1 （II）由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件数是C82C41，满足条件的事件是C51C31C41=60， ∴要求的概率是P== （III）由题意知变量的可能取值是0，1，2，3 P（ξ=0）=，P（ξ=1）=，P（ξ=3）=，P（ξ=2）= ∴ξ的分布列是 ξ 0 1 2 3 p ∴ξ的期望是Eξ=

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考点分析：

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如图，四棱锥P-ABCD，底面^BCZ）是边长为2的菱形，其中∠ADC=60°，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=3，E是PD的中点
（I ）求证直线PB∥平面ACE
（II）求点P到平面ACE的距离；
（III）求二面角E-AC-D的大小．