已知定义在R上的函数f（x）满足：①f（x+y）=f（x）+f（y）+1，②当x...

已知定义在R上的函数f（x）满足：①f（x+y）=f（x）+f（y）+1，②当x＞0时、f（x）＞-1；
（I）求：f（0）的值，并证明f（x）在R上是单调增函数；
（II）若f（1）=1，解关于x的不等式；f（x²+2x）+f（1-x）＞4．

（I）根据已知条件中，：①f（x+y）=f（x）+f（y）+1，②当x＞0时、f（x）＞-1；令x=y=0，即可求出f（0）的值，在R上任取x1＞x2，则x1-x2＞0，根据f（x1）=f[（x1-x2）+x2]，结合已知条件，即可判断函数的单调性；（II）若f（1）=1，则我们易将关于x的不等式；f（x2+2x）+f（1-x）＞4化为f（x2+x+1）＞f（3），结合（I）的结论，可将原不等式化为一个一元二次不等式，进而得到答案．【解析】（I）令x=y=0 ∵f（x+y）=f（x）+f（y）+1， ∴f（0）=f（0）+f（0）+1 ∴f（0）=-1，在R上任取x1＞x2，则x1-x2＞0， ∵当x＞0时、f（x）＞-1， ∴f（x1-x2）＞-1 则f（x1）=f[（x1-x2）+x2]， =f（x1-x2）+f（x2）+1＞f（x2）， ∴f（x）在R上是单调增函数．（II）由f（1）=1得：f（2）=3，f（3）=5，则关于x的不等式；f（x2+2x）+f（1-x）＞4可化为关于x的不等式；f（x2+2x）+f（1-x）+1＞5，即关于x的不等式；f（x2+x+1）＞f（3），由（I）的结论知f（x）在R上是单调增函数，故x2+x+1＞3，解得：x＜-2或x＞1，故原不等式的解集为：（-∞，-2）∪（1，+∞）．

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考点分析：

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试题属性

题型：解答题
难度：中等