已知函数f（x）=（x2-ax+1）eax，其中a∈R，x∈R若函数．y=f（x...

已知函数f（x）=（x²-ax+1）e^ax，其中a∈R，x∈R若函数．y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与X轴平行．
（I）求实数a的值；
（II）求函数y=f（x）的单调区间；
（III）当a＞0时，设g（x）=lnf（x），当，x∈（1，+∞）时，函数g（x）图象上是否存在两点，使得过此两点处的切线互相垂直？证明你的结论．

（I）先由所给函数的表达式，求导数fˊ（x），再根据导数的几何意义求出切线的斜率，最后由平行直线的斜率相等方程求a的值即可；（II）对参数a进行分类，令导数fˊ（x）＞0，解不等式即可求出f（x）的单调性；（III）先由（I）得出a的值，然后假设存在两点使得过此两点处的切线互相垂直，求出函数的导数，再根据k1•k2=-1，列出关于x1、x2的不等式，推出矛盾就可得出结论．【解析】 f'（x）=eax[ax2-（a2-2）x] （1）因为f（x）在点（1，f（1））处的切线与X轴平行． f'（1）=0，即a-a2+2=0 解得a=-1或2 （2）由f'（x）=eax[ax2-（a2-2）x]得 ①a=2时，f'（x）=e2x（2x2-2x）由f'（x）＞0得 x＞1或x＜0 ∴函数f（x）的单调递增区间是（-∞，0）和（1，+∞），单调递减区间是（0，1） ②a=-1时，令f'（x）＞0得0＜x＜1 ∴函数f（x）的单调递增区间是（0，1），单调递减区间是（-∞，0）和（1，+∞）（III）当a＞0时，由（1）知a=2 ∵g（x）=lnf（x）=ln（x2-2x+1）+2x 假设存在两点A、B，使得过此两点处的切线互相垂直，则由 g'（x）= 知斜率k1=g'（x1）= k2=g'（x2）= 且k1•k2=-1 ∵x∈（1，+∞） ∴x1-1＞0，x2-1＞0 ∴，因此上式矛盾！故假设不成立． ∴函数上不存在两点A、B，使得过此两点处的切线互相垂直．

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考点分析：

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试题属性

题型：解答题
难度：中等