Question

设G是△ABC的重心，且，则B的大小为（ ）
A．15°
B．30°
C．45°
D．60°

Answer

设出三角形的三边分别为a，b，c，根据正弦定理把已知的等式化简，然后由G为三角形的重心，根据中线的性质及向量的加法法则分别表示出，和，代入化简后的式子中，然后又根据等于加，把上式进行化简，最后得到关于和的关系式，由和为非零向量，得到两向量前的系数等于0，列出关于a，b及c的方程组，不妨令c=56，即可求出a与b的值，然后根据余弦定理表示出cosB，把a，b，c的值代入即可求出cosB的值，由B的范围，利用特殊角的三角函数值即可得到B的度数．
【解析】
因为
设三角形的边长顺次为a，b，c，根据正弦定理得：
56a+40b+35=，
由点G为三角形的重心，根据中线的性质及向量加法法则得：
3=+，3=+，3=+，
代入上式得：56a（+）+40b（+）+35c（+）=，
又=+，上式可化为：
56a（2+）+40b（+）+35c（-+2）=，
即（112a-40b-35c）+（-56a-40b+70c）=，
则有，
①-②得：168a=105c，即a：c=35：56，
设a=35k，c=56k，代入①得到b=49k，
所以cosB===，又B∈（0，180°），
则B=60°．
故选D