Question

已知x∈R，函数f（x）=ax³+bx²+cx+d在x=0处取得极值，曲线y=f（x）过原点O（0，0）和点P（-1，2）．若曲线y=f（x）在点P处的切线l与直线y=2x的夹角为45°，且直线l的倾斜角θ∈（，π），
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若函数y=f（x）在区间[2m-1，m+1]上是增函数，求实数m的取值范围；
（Ⅲ）若x1、x₂∈[-1，1]，求证：f（x₁）-f（x₂）≤4．

Answer

（I）根据在x=0处取得极值以及过点（0，0）可求出c和d，然后根据曲线y=f（x）在点P处的切线l与直线y=2x的夹角为45°，建立方程求出a和b，从而求出函数的解析式；
（II）令f'（x）＞0求出函数f（x）的增区间，使[2m-1，m+1]是增区间的子集，建立不等关系，解之即可；
（III）先利用导数求出函数f（x）在[-1，1]上的最大值和最小值，f（x1）-f（x2）≤f（x）max-f（x）min，从而得到结论．
解（Ⅰ）由已知f'（x）=3ax2+2bx+c∴⇒c=d=0∴c=d=0…（2分）
又且f'（-1）＜0∴f'（-1）=-3 （舍去f'（-1）=）
∴⇒⇒f（x）=x3+3x2…（4分）
（Ⅱ）令f'（x）=3x（x+2）＞0⇒x＞0或x＜-2  即f（x）的增区间为（-∞，-2]、[0，+∞）
∵y=f（x）在区间[2m-1，m+1]上是增函数
∴2m-1＜m+1≤-2或0≤2m-1＜m+1 则m≤-3或≤m＜2…（8分）
（Ⅲ）令f'（x）=3x（x+2）=0⇒x=0或x=-2
∵f（0）=0，f（-1）=2，f（1）=4∴y=f（x）在[-1，1]上的最大值为4，最小值为0…（10分）
∴x1、x2∈[-1，1]时，|f（x1）-f（x2）|≤4-0=4…（12分）