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已知椭圆+=1(a>b>0)的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形,直...

已知椭圆manfen5.com 满分网+manfen5.com 满分网=1(a>b>0)的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形,直线x-y+b=0是抛物线y2=4x的一条切线.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)过点S(0,manfen5.com 满分网)的动直线L交椭圆C于A、B两点.问:是否存在一个定点T,使得以AB为直径的圆恒过点T?若存在,求点T坐标;若不存在,说明理由.
(Ⅰ)由消去y,得:x2+(2b-4)x+b2=0,因直线y=x+b与抛物线y2=4x相切,b=1.圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形,由此能求出椭圆方程. (Ⅱ)当L与x轴平行时,以AB为直径的圆的方程:,当L与x轴垂直时,以AB为直径的圆的方程:x2+y2=1.由,解得两圆公共点(0,1).因此所求的点T如果存在,只能是(0,1).由此能够导出以AB为直径的圆恒过点T(0,1). 【解析】 (Ⅰ)由消去y,得:x2+(2b-4)x+b2=0, 因直线y=x+b与抛物线y2=4x相切,∴△=(2b-4)2-4b2,∴b=1.…(2分) ∵圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形, ∴,…(4分) 故所求椭圆方程为.…(5分) (Ⅱ)当L与x轴平行时,以AB为直径的圆的方程:, 当L与x轴垂直时,以AB为直径的圆的方程:x2+y2=1 由 解得, 即两圆公共点(0,1)因此,所求的点T如果存在,只能是(0,1)…(7分) (ⅰ)当直线L斜率不存在时,以AB为直径的圆过点T(0,1) (ⅱ)若直线L斜率存在时,可设直线L:y=kx-. 由,消去y得:(18k2+9)x2-12kx-16=0, 记点A(x1,y1)、B(x2,y2),则,…(9分) ∵, ∴ = = = =0. ∴TA⊥TB,…(11分) 综合(ⅰ)(ⅱ),以AB为直径的圆恒过点T(0,1).           …(12分)
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考点分析:
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其中正确的命题是    (把所有正确的命题的选项都填上) 查看答案
试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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