Question

已知椭圆+=1（a＞b＞0）的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线x-y+b=0是抛物线y²=4x的一条切线．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点S（0，）的动直线L交椭圆C于A、B两点．问：是否存在一个定点T，使得以AB为直径的圆恒过点T？若存在，求点T坐标；若不存在，说明理由．

Answer

（Ⅰ）由消去y，得：x2+（2b-4）x+b2=0，因直线y=x+b与抛物线y2=4x相切，b=1．圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，由此能求出椭圆方程．
（Ⅱ）当L与x轴平行时，以AB为直径的圆的方程：，当L与x轴垂直时，以AB为直径的圆的方程：x2+y2=1．由，解得两圆公共点（0，1）．因此所求的点T如果存在，只能是（0，1）．由此能够导出以AB为直径的圆恒过点T（0，1）．
【解析】
（Ⅰ）由消去y，得：x2+（2b-4）x+b2=0，
因直线y=x+b与抛物线y2=4x相切，∴△=（2b-4）2-4b2，∴b=1．…（2分）
∵圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，
∴，…（4分）
故所求椭圆方程为．…（5分）
（Ⅱ）当L与x轴平行时，以AB为直径的圆的方程：，
当L与x轴垂直时，以AB为直径的圆的方程：x2+y2=1
由
解得，
即两圆公共点（0，1）因此，所求的点T如果存在，只能是（0，1）…（7分）
（ⅰ）当直线L斜率不存在时，以AB为直径的圆过点T（0，1）
（ⅱ）若直线L斜率存在时，可设直线L：y=kx-．
由，消去y得：（18k2+9）x2-12kx-16=0，
记点A（x1，y1）、B（x2，y2），则，…（9分）
∵，
∴
=
=
=
=0．
∴TA⊥TB，…（11分）
综合（ⅰ）（ⅱ），以AB为直径的圆恒过点T（0，1）．           …（12分）