Question

已知函数f（x）=（a+1）lnx+ax²+1
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）设a＜-1．如果对任意x₁，x₂∈（0，+∞），|f（x₁）-f（x₂）|≥4|x₁-x₂|，求a的取值范围．

Answer

（1）先确定函数的定义域然后求导数fˊ（x），在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，求出单调区间．
（2）根据第一问的单调性先对|f（x1）-f（x2）|≥4|x1-x2|进行化简整理，转化成研究g（x）=f（x）+4x在（0，+∞）单调减函数，再利用参数分离法求出a的范围．
【解析】
（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞）.．
当a≥0时，f′（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）单调增加；
当a≤-1时，f′（x）＜0，故f（x）在（0，+∞）单调减少；
当-1＜a＜0时，令f′（x）=0，解得．
则当时，f'（x）＞0；时，f'（x）＜0．
故f（x）在单调增加，在单调减少．
（Ⅱ）不妨假设x1≥x2，而a＜-1，由（Ⅰ）知在（0，+∞）单调减少，
从而∀x1，x2∈（0，+∞），|f（x1）-f（x2）|≥4|x1-x2|
等价于∀x1，x2∈（0，+∞），f（x2）+4x2≥f（x1）+4x1①
令g（x）=f（x）+4x，则
①等价于g（x）在（0，+∞）单调减少，即．
从而
故a的取值范围为（-∞，-2]．（12分）