Question

椭圆C的中心在坐标原点O，焦点在y轴上，离心率为，以短轴的一个端点与两焦点为顶点的三角形的面积为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若过点P（0，m）存在直线l与椭圆C交于相异两点A，B，满足：且，求常数λ的值和实数m的取值范围．

Answer

（1）设椭圆方程为 由题意得出a，b，c的关系，由此能够求出a，b，c的值，从而得到所求椭圆方程．
（2）设直线l的方程为：y=kx+m，将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用向量条件即可求得m的取值范围，从而解决问题．
【解析】
（1）设椭圆的方程为：，
由题意知，，且，
解得：a=1，．
故椭圆C的方程为：y2+2x2=1．
（2）由得，，
∴，
∴1+λ=4，λ=3．
当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为：y=kx+m，
且与椭圆C的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），
由得：（k2+2）x2+2kmx+m2-1=0，
∴△=（2km）2-4（k2+2）（m2-1）=4（k2-2m2+2）＞0，，，
由得-x1=3x2，
∴x1+x2=-2x2，x1x2=-3x22，
消去x1，x2得：3（x1+x2）2+4x1x2=0，
即，（4m2-1）k2=2-2m2．
当时，上式不成立，∴，
代入△＞0，即k2＞2m2-2，得恒成立，
即，解得，
∴或．
当直线l与x轴垂直时，l的方程为：x=0得．
综上所述：m的取值范围为．