Question

在棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别为棱AB和BC的中点，G为上底面A₁B₁C₁D₁的中心．
（I）求AD与BG所成角的余弦值；
（II）求二面角B-FB₁-E的大小；
（III）求点D到平面B₁EF的距离．

Answer

（I）以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，分别求出AD与BG的方向向量，代入向量夹角公式，即可求出AD与BG所成角的余弦值；
（II）分别求出平面B1EF的法向量和平面BFB1的法向量，代入向量夹角公式，即可求出二面角B-FB1-E的大小；
（III）由（II）中结论，平面B1EF的法向量=（2，2，-1），又由=（a，a，a）．代入d=，即可求出点D到平面B1EF的距离．
【解析】
建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz．
则A（a，0，0），B（a，a，0），C（0，a，0），E（a，，0），F（，a，0），B1（a，a，a），G（，，a），
（I）∵=（-a，0，0），=（-，-，a），
令AD与BG所成角为θ，
∴cosθ==．
∴AD与BG所成角的余弦值为．
（II）设平面B1EF的法向量为=（x，y，z）．
∵=（-，，0），=（0，，0）
则•=0，•=0．
∴
取y=2，则x=2，z=-1．
∴可取=（2，2，-1），
显然DC⊥平面BFB1．∴可取平面BFB1的法向量=（0，1，0）
∴cos＜，＞==．
∴所求二面角的大小为arccos．
（III）由（II）已求平面B1EF的法向量=（2，2，-1），又=（a，a，a）．
∴点D到平面B1EF的距离d==a．
∴点D到平面B1EF的距离为a．