Question

已知抛物线C：y²=4x的对称轴上一点A（a，0）（a＞0），过点A的直线l交抛物线于M、N两点．
（1）若抛物线C上到点A最近的点恰为抛物线的顶点（0，0），求a的取值范围；
（2）设直线OM的斜率为k_OM，直线ON的斜率为k_ON，若k_OM•k_ON=-2，求a的值．

Answer

（I）设抛物线上任意一点P（x，y），则PA2=（x-a）2+4x=[x-（a-2）]2+4a-4，由0＜a≤2结合二次函数的性质可求
（II）设直线l：x=ty+a代入y2=4x得：y2-4ty-4a=0
设M（x1，y1），N（x2，y2）则y1+y2=4t，y1y2=-4a，代入=可求a
【解析】
（I）设抛物线上任意一点P（x，y）
则PA2=（x-a）2+4x=[x-（a-2）]2+4a-4
由条件可知，a-2≤0，∴0＜a≤2
（II）设直线l：x=ty+a代入y2=4x得：y2-4ty-4a=0
设M（x1，y1），N（x2，y2）则y1+y2=4t，y1y2=-4a
∴===
∴a=2