Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，b=5c．
（1）求sinC的值；
（2）求sin（2A+C）的值；
（3）若△ABC的面积，求a的值．

Answer

（1）利用余弦定理可求的，进而根据cosA求得sinA，利用正弦定理即可求得sinC．
（2）根据（1）中的sinC求得cosC，进而利用倍角公式求得sin2A和cos2A，代入sin（2A+C）=sin2AcosC+cos2AsinC求得答案．
（3）根据b和c的关系，进而求得sinB和sinC的关系，把sinC代入面积公式求得三角形的面积，进而利用三角形面积公式求得=S，求得a．
【解析】
（1）∵a2=b2+c2-2bccosA==18c2，
∴．
∵，0＜A＜π，∴．
∵，
∴==；
（2）∵c＜a，∴C为锐角，
∴．
∵，
，
∴sin（2A+C）=sin2AcosC+cos2AsinC
==；
（3）∵b=5c，∴，sinB=5sinC．
∴．
又∵S=，
∴，
∴．