Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90^o，AB=AC=a，AA₁=b，点E，F分别在棱BB₁，CC₁上，且，．设．
（1）当λ=3时，求异面直线AE与A₁F所成角的大小；
（2）当平面AEF⊥平面A₁EF时，求λ的值．

Answer

（1）本题适合建立空间坐标系得用向量法解决这个立体几何问题，建立空间坐标系，给出有关点的坐标，设出点F的坐标，求异面直线AE与A1F的方向向量，利用利用夹角公式求异面直线AE与A1F所成角的余弦值即可．
（2）分别同平面AEF的法向量为和平面A1EF的一个法向量．再根据平面AEF⊥平面A1EF，得出向量的数量积为0，即可求解得λ的值．
【解析】
建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz．
（1）设a=1，则AB=AC=1，AA1=3，
各点的坐标为A（0，0，0），E（1，0，1），
A1（0，0，3），F（0，1，2）．
，．
∵，，
∴．
∴向量和所成的角为120o，
∴异面直线AE与A1F所成角为60°；（4分）

（2）∵，，
∴．
设平面AEF的法向量为n1（x，y，z），
则，且．
即，且．
令z=1，则．
∴=是平面AEF的一个法向量．（6分）
同理，=是平面A1EF的一个法向量．（8分）
∵平面AEF⊥平面A1EF，∴n1•n2=0．∴．
解得，．
∴当平面AEF⊥平面A1EF时，．