Question

定义在R上的函数y=f（x），满足f（4-x）=f（x），（x-2）f′（x）＜0，若x₁＜x₂，且x₁+x₂＞4，则有（ ）
A．f（x₁）＜f（x₂）
B．f（x₁）＞f（x₂）
C．f（x₁）=f（x₂）
D．不确定

Answer

由题设中条件f（4-x）=f（x）可得出函数关于x=2对称，由（x-2）f′（x）＜0可得出x＞2时，导数为正，x＜2时导数为负由此可必出函数的单调性利用单调性比较大小即可选出正确答案
【解析】
由题意f（4-x）=f（x），可得出函数关于x=2对称
又（x-2）f′（x）＜0，得x＞2时，导数为负，x＜2时导数为正，
即函数在（-∞，2）上是增函数，在（2，+∞）上是减函数
又x1＜x2，且x1+x2＞4，下进行讨论
若2＜x1＜x2，显然有f（x1）＞f（x2）
若x1＜2＜x2，有x1+x2＞4可得x1＞4-x2，故有f（x1）＞f（4-x2）=f（x2）
综上讨论知，在所给的题设条件下总有f（x1）＞f（x2）
故选B