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如图,三棱锥P-ABC中,平面PBC丄平面ABC,△PBC是边长为a的正三角形,...

如图,三棱锥P-ABC中,平面PBC丄平面ABC,△PBC是边长为a的正三角形,∠ABC=90°,∠BAC=30°,M是BC的中点.
(I )求证:AC丄 PB;
(II)求二面角C-PA-M的大小.

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(I)由题意及图形可以由平面PBC丄平面ABC证明AC⊥面PBC,再有线面垂直的定义得出AC丄 PB; (II)可建立空间坐标系求解二面角,如图建立空间直角坐标系M-xyz,其中M为坐标原点,给出两点的坐标,分别求出平面MPA的法向量与平面CAP的方向向量,由公式求出两平面夹角的余弦值,再用反三角函数表示出二面角C-PA-M的大小 【解析】 (I)∵面PBC⊥面ABC,AC⊥BC,∴AC⊥面PBC,∴AC⊥PB (II)用向量法求【解析】 作PM⊥BC,垂足为M,在平面ABC内过点M作MQ⊥BC垂足为M,∵平面PBC丄平面ABC,PM,MQ,BC两两垂直,如图建立空间坐标系M-xyz,其中M为坐标原点. ∵三角形PBC是边长为a的正三角形,,∠ABC=90°,∠BAC=30°,M是BC的中点, ∴A()P(0,0,a),C(,0,0), ∴,,, 设平面MPA的法向量为,∴解得 不妨令y=,则 设平面CAP的方向向量为∴,解得 不妨令z=,则 ∴cos<>== ∴二面角的大小是arccos
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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