Question

已知椭圆C的中心为坐标原点，焦点在y轴上，离心率e=该椭圆C与直线l：y=x在第一象限交于F点，且直线l被椭圆C截得的弦长为2，过F作倾斜角互补的两直线FM，FN分别与椭圆C交于M，N两点（F与M，N均不重合）．
（I ）求椭圆C的方程；
（ II ）求证：直线MN的斜率为定值；
（III）求三角形FMN面积的最大值．

Answer

（I ）由题设知：e=，，由此能求出椭圆C的方程．
（II）由F（1，），设kFM=k（k＞0），由直线FM与FN的倾斜角互补，知kFN=-k，直线FM：，直线FN：．由，得，由是FM与椭圆的交点，知1为（*）的一个根，另一个根为xM，，=，，同理，由此能求出直线MN的斜率为定值．
（III）设MN与y轴交点为（0，b），M（x1，y1），N（x2，y2），又，MN的方程为．由，得．由，得b2＜8，再由韦达定理和两点间距离公式进行求解．
【解析】
（I ）由题设知：e=，∴，
∵c2=a2-b2，∴，
即a2=2b2，
设所求的椭圆C的方程为．
由，得，∴，∴y=±b．
∴两交点分别为（），，
∴，
∴b2=2，a2=4．
∴所求的椭圆C的方程为．
（II）由（1）知F（1，），
设kFM=k（k＞0），
∵直线FM与FN的倾斜角互补，
∴kFN=-k，
∴直线FM：，直线FN：．
由，得（*），
∵是FM与椭圆的交点，
∴1为（*）的一个根，另一个根为xM，
∴，
∴
=，
∴，
同理，
∴．
（III）设MN与y轴交点为（0，b），M（x1，y1），N（x2，y2），
又，
∴MN的方程为．
由，得．
由，得b2＜8，
∵，，
∴
=
=．
∵，
∴OF∥MN，
∴F到MN的距离即为O到MN的距离b=，
∴
=，
当b2=4时，三角形FMN面积的最大值为．