Question

对于函数f（x）=，下列结论正确的是    ．
①∀x∈R，f（-x）+f（x）=0；
②∃m∈（0，1）使得方程|f（x）|=m有两个不等的实数解；
③∃k∈（1，+ϖ），使得函数g（x）=f（x）-kx在R上有三个零点；
④∀x₁，x₂，若x₁≠x₂，则f（x₁）≠f（x₂）

Answer

根据题意，依次分析命题：将-x代替x求出f（-x），判断出 ①对；通过分离参数，判断出f（x）在[0，+∞）上的单调性及值域判断出②对；通过另g（x）=0，分离出k，求出k的范围，判断出③错；通过对①②的推导过程得到f（x）在R上单调，判断出④对，即可得答案．
【解析】
对于①，∴f（-x）+f（x）=0，故①对；
②，∵函数f（x）=（x∈R）的在R上单调递增，且值域为（-1，1）
∴函数y=|f（x）|在（-∞，0]上单调递减，在[0，+∞）上单调递增，且值域为[0，1）
∴∀m∈（0，1），方程|f（x）|=m均有两个不等实数根，故（2）正确；
对于③，令g（x）=0即f（x）-kx=0即k=≤1，所以当k∈（1，+ϖ），使得函数g（x）=f（x）-kx在R上无零点，故③错．
对于④，由①知f（x）是奇函数，由②的推导知，f（x）在R上单调递增，所以∀x1，x2，若x1≠x2，则f（x1）≠f（x2）
故④对．
故答案为：①②④