Question

设T_n为数列{a_n}的前n项之积，满足T_n=1-a_n（n∈N^*）．
（1）设，证明数列{b_n}是等差数列，并求b_n和a_n；
（2）设S_n=T₁²+T₂²+…+T_n²求证：a_n+1-＜S_n≤a_n-．

Answer

（1）首先利用数列{an}的前n项积Tn与通项之间的关系分类讨论写出相邻项满足的关系式，然后两式作商，再利用，利用作差法即可获得数列{bn}是等差数列．由此可以求的数列{bn}的通项公式，进而求得Tn然后求得数列{an}的通项公式；
（2）Sn=T12+T22+…+Tn2=，再进行放缩可证．
【解析】
（1）∵Tn=1-an（n∈N*）．，∴，∴
∵，∴bn-bn-1=1，∵Tn=1-an，∴，∴，∴数列{bn}是以2为首项，以1为公差的等差数列，∴bn=n+1，∴，∴
（2）Sn=T12+T22+…+Tn2=
∴
当n≥2时，=
当n=1时，
∴Sn≤an-，∴an+1-＜Sn≤an-．