Question

已知正项数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_n+=2S_n，n∈N^*．
（Ⅰ）求证：数列{S_n²}是等差数列；
（Ⅱ）求解关于n的不等式a_n+1（S_n-1+S_n）＞4n-8；
（Ⅲ）记数列bn=2S_n³，T_n=…+，证明：1-＜T_n＜．

Answer

（Ⅰ）利用an=Sn-Sn-1，化简得Sn2-Sn-12=1．从而数列{Sn2}是等差数列；
（Ⅱ）由（I）知Sn2=n，从而Sn+12-Sn2＞4n-8，即1＞4n-8，故可解；
（Ⅲ）∵可以证明，同理可证1-＜Tn
【解析】
（Ⅰ）∵an+=2Sn，∴an2+1=2anSn．当n≥2时，（Sn-Sn-1）2+1=2（Sn-Sn-1）Sn，
化简得Sn2-Sn-12=1．由a1+=2a1，得a12=S12．
∴数列{Sn2}是等差数列；
（Ⅱ）由（I）知Sn2=n，又由an+1（Sn-1+Sn）＞4n-8，得Sn+12-Sn2＞4n-8，即1＞4n-8，∴．
又n∈N*，∴不等式的解集为{1，2}
（Ⅲ）当n≥2时，∵，∴，
∵，∴
∴1-＜Tn＜．