Question

已知f（x）=ln（1+x）-（a＞0）．
（I） 若f（x）在（0，+∞）内为单调增函数，求a的取值范围；
（II） 若函数f（x）在x=O处取得极小值，求a的取值范围．

Answer

先根据导数法则与公式求出f（x）的导数f′（x）．
（I）由函数的单调性与导数的关系易得f′（x）≥0，再结合二次函数的性质可得≤0，即可求出a的取值范围；
（II）由f（x）在x=O处取得极小值，可知在x=O左侧有f′（x）＜0，在x=O右侧有f′（x）＞0，则＜0，即可求出a的取值范围．
【解析】
由f（x）=ln（1+x）-（a＞0）
得f′（x）=-=
（Ⅰ）∵f（x）在（0，+∞）内为单调增函数∴f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立．
又a＞0∴≥0在（0，+∞）上恒成立
∴≤0，解得a≥．
（Ⅱ）由f′（x）==0 得x1=0，x2=（a＞0）
其中a2、（1+x）、（1+ax）2均大于0
∵f（x）在x=O处取得极小值
∴在x=O左侧有f′（x）＜0，在x=O右侧有f′（x）＞0．
∴＜0，解得a＞．