Question

已知动点P（x，y）与两定点m（-1，0），N（1，0）连线的斜率之积等于常数λ（λ≠0）．
（I） 求动点P的轨迹C的方程；
（II） 试根据λ的取值情况讨论轨迹C的形状：
（III） 当λ=-2时，过定点F（0，1）的直线l与轨迹C交于A、b两点，求△OAB的面积的最大值．

Answer

（Ⅰ）由题设知直线PM与PN的斜率存在且均不为零，所以，由此能够导出动点P的轨迹C的方程．
（Ⅱ）当λ＞0时，轨迹C为中心在原点，焦点在x轴上的双曲线（除去顶点）；当-1＜λ＜0时，轨迹C为中心在原点，焦点在x轴上的椭圆（除去长轴两个端点）；当λ=-1时，轨迹C为以原点为圆心，1的半径的圆除去点（-1，0），（1，0）；当λ＜-1时，轨迹C为中心在原点，焦点在y轴上的椭圆（除去短轴的两个端点）．
（Ⅲ）当λ=-2时，轨迹C的椭圆（x≠±1），由题意知，l的斜率存在．设l的方程为y=kx+1，代入椭圆方程中整理得（k2+2）x2+2kx-1=0，由此入手能够求出OAB的面积取最大值．
【解析】
（Ⅰ）由题设知直线PM与PN的斜率存在且均不为零
所以，
整理得（λ≠0，x≠±1）（3分）
（Ⅱ）①当λ＞0时，轨迹C为中心在原点，焦点在x轴上的双曲线（除去顶点）
②当-1＜λ＜0时，轨迹C为中心在原点，焦点在x轴上的椭圆（除去长轴两个端点）
③当λ=-1时，轨迹C为以原点为圆心，1的半径的圆除去点（-1，0），（1，0）
④当λ＜-1时，轨迹C为中心在原点，焦点在y轴上的椭圆（除去短轴的两个端点）（7分）
（Ⅲ）当λ=-2时，轨迹C的椭圆（x≠±1）
由题意知，l的斜率存在
设l的方程为y=kx+1，代入椭圆方程中整理得
（k2+2）x2+2kx-1=0（*）
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2的方程（*）的两个实根
∴（9分）
∴
=
=
=（11分）
=
当k=0时，取“=”
∴k=0时，△OAB的面积取最大值为．（13分）