Question

已知数列{a_n}满足：a₁=3，a_n+1=，n∈N^*，记b_n=．
（I） 求证：数列{b_n}是等比数列；
（II） 若a_n≤t•4ⁿ对任意n∈N^*恒成立，求t的取值范围；
（III）记C_n=，求证：C₁•C₂…C_n＞．

Answer

（Ⅰ）由条件先得，再分别表示∴an+1-2，an+1+1，两式相除，可得数列{bn}是首项为，公比为的等比数列．
（II） 由（Ⅰ）可知，对an≤t•4n分离参数得，从而可解；
（III）由题意可得C1•C2…Cn=，欲证此结论，先证明：若x1，x2，…xn为正数，则（1-x1）…（1-xn）＞1-（x1+x2+…+xn）成立．
【解析】
（Ⅰ）证明：由an+1=，n∈N*得an+1-2=-2=①an+1+1=+1=②
①÷②即bn+1=bn，且
∴数列{bn}是首项为，公比为的等比数列．（3分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，∴
由an≤t•4n得易得是关于n的减函数，∴，∴（8分）
（Ⅲ）由得
∴C1•C2…Cn=（10分）
下面用数学归纳法证明不等式：
若x1，x2，…xn为正数，则（1-x1）…（1-xn）＞1-（x1+x2+…+xn）（*）
1°当n=2时，∵x1，x2为正数，∴（1-x1）（1-x2）=1-（x1+x2）+x1x2＞1-（x1+x2）
2°假设当n=k（k≥2）时，不等式成立，即若x1，x2，…，xk为正数，则
（1-x1）（1-x2）…（1-xk）＞1-（x1+x2…+xk）
那么（1-x1）（1-x2）…（1-xk）（1-xk+1）＞1-（x1+x2…+xk+xk+1）
这就是说当n=k+1时不等式成立．（12分）
根据不等式（*）得：C1•C2…Cn=
∴C1•C2…Cn＞．（14分）