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已知椭圆C的中心为坐标原点,焦点在y轴上,离心率e=该椭圆C与直线l:y=x在第...

已知椭圆C的中心为坐标原点,焦点在y轴上,离心率e=manfen5.com 满分网该椭圆C与直线l:y=manfen5.com 满分网x在第一象限交于F点,且直线l被椭圆C截得的弦长为2manfen5.com 满分网,过F作倾斜角互补的两直线FM,FN分别与椭圆C交于M,N两点(F与M,N均不重合).
(I )求椭圆C的方程;
( II )求证:直线MN的斜率为定值;
(III)求三角形FMN面积的最大值.
(I )由题设知:e=,,由此能求出椭圆C的方程. (II)由F(1,),设kFM=k(k>0),由直线FM与FN的倾斜角互补,知kFN=-k,直线FM:,直线FN:.由,得,由是FM与椭圆的交点,知1为(*)的一个根,另一个根为xM,,=,,同理,由此能求出直线MN的斜率为定值. (III)设MN与y轴交点为(0,b),M(x1,y1),N(x2,y2),又,MN的方程为.由,得.由,得b2<8,再由韦达定理和两点间距离公式进行求解. 【解析】 (I )由题设知:e=,∴, ∵c2=a2-b2,∴, 即a2=2b2, 设所求的椭圆C的方程为. 由,得,∴,∴y=±b. ∴两交点分别为(),, ∴, ∴b2=2,a2=4. ∴所求的椭圆C的方程为. (II)由(1)知F(1,), 设kFM=k(k>0), ∵直线FM与FN的倾斜角互补, ∴kFN=-k, ∴直线FM:,直线FN:. 由,得(*), ∵是FM与椭圆的交点, ∴1为(*)的一个根,另一个根为xM, ∴, ∴ =, ∴, 同理, ∴. (III)设MN与y轴交点为(0,b),M(x1,y1),N(x2,y2), 又, ∴MN的方程为. 由,得. 由,得b2<8, ∵,, ∴ = =. ∵, ∴OF∥MN, ∴F到MN的距离即为O到MN的距离b=, ∴ =, 当b2=4时,三角形FMN面积的最大值为.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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