Question

与正方体ABCD-A₁B₁C₁E₁的三条棱AB、CC₁、A₁D₁所在直线的距离相等的点①有且只有1个； ②有且只有2个；③有且只有3个； ④有无数个．其中正确答案的序号是    ．

Answer

由于点D、B1显然满足要求，猜想B1D上任一点都满足要求，然后想办法利用空间坐标系证明结论．
【解析】
在正方体ABCD-A1B1C1D1上建立如图所示空间直角坐标系，
并设该正方体的棱长为1，连接B1D，并在B1D上任取一点P，
因为 =（1，1，1），
所以设P（a，a，a），其中0≤a≤1．
作PE⊥平面A1D，垂足为E，再作EF⊥A1D1，垂足为F，
则PF是点P到直线A1D1的距离．
所以PF=；
同理点P到直线AB、CC1的距离也是 ．
所以B1D上任一点与正方体ABCD-A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离都相等，
所以与正方体ABCD-A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点有无数个．
故答案为：④．