Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，从丄仙，垂足为H，PH是四棱锥的高..已知AB=，∠APB=∠ADB=60°．
（I ）证明：平面ABC丄平面PBD；
（II ）求四棱锥P-ABCD的体积；
（III）求二面角P-AD-B的正切值．

Answer

（I）由已知中PH是四棱锥的高，AC⊥BD，结合线面直线的判定定理我们可得AC⊥平面PBD，再由面面垂直的判定定理，我们可得平面ABC丄平面PBD；
（II ）由已知中ABCD的为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，AB=，我们求出底面ABCD的面积，及棱锥的高PH的值，代入棱锥体积公式即可得到四棱锥P-ABCD的体积；
（III）过H作HE⊥AD于E，连接PE，则∠PEH即为二面角P-AD-B的平面角，解三角形PEH，即可求出二面角P-AD-B的正切值．
【解析】
（I）证明：如图所示：
∵PH是四棱锥的高
∴AC⊥PH，
又∵AC⊥BD，PH∩BD=H
∴AC⊥平面PBD
又∵AC⊂平面PAC
∴平面ABC丄平面PBD；
（II ）【解析】
∵ABCD的为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，AB=
∴HA=HB=
又∵∠APB=∠ADB=60°．
∴PA=PB=，HD=HC=1
∴PH==
∴=2+
∴VP-ABCD==
（III）【解析】
过H作HE⊥AD于E，连接PE
∵PH是四棱锥的高
∴PE⊥AD
∴∠PEH即为二面角P-AD-B的平面角
在直角三角形AHD中，AH=，DH=1
∴AD=2
∴HE=
∴tan∠PEH==2
故二面角P-AD-B的正切值为2